Logica is de leer van de geldige redeneringen. Om geldige redeneringen te definieren wordt gebruik gemaakt van een aantal basis elementen met regels waarmee algemeen geldige redeneringen tot stand komen in een logische taal. De basis elementen zijn dan te relateren zijn aan normaal taal gebruik. Door uitbreiding van die basis elementen wordt het steeds beter mogelijk het normaal taalgebruik vast te leggen met de logische taal elementen. Dit "project" is met name de laatste decenia in versnelling gekomen maar nog \lang/ niet voltooid.
Een redenering is een opeenvolging van (declaratieve) zinnen waarvan er een bedoeld is als conclusie , de anderen als premissen. Een redenering is geldig als hij voldoet aan de volgend vorm:
| redeneerschema | voorbeeld | |||
| premisse: | als ___dan...... | als socrates een mens is, dan is hij sterfelijk | ||
| premisse: | ___ | is het geval | Socrates is een mens | |
| conclusie: | dus: | ..... | Socrates is sterfelijk |
Basis ingredienten van de logische object taal
| elementen | definitie | Voorbeelden | |
| singuliere termen: |
|
Socrates, Nijmegen, | |
|
ik, jij, | ||
|
hier, nu, vandaag, gisteren | ||
| naam functies functieconstanten: |
is een singuliere term met een of meer open
plaatsen verkorte schrijfwijze voor naamfuncties bv: 'm', 's' |
de moeder van____ de som van ____ en _____ |
|
| zin | zijn ware of onware atomaire uitspraken of combinaties van uitspraken. | ||
| predicaat | is een atomaire (niet samengestelde) zin met weglating van de naamfuncties | ||
| predicaatconstanten: | verkorte schrijfwijze voor een zin / predicaat
b.v.: W, L in het voorbeeld is W eenplaatsig en L tweeeplaatsig |
de moeder van Jan wandelt: Wmj; Plato is de leermeester van Aristoteles: Lpa |
|
| = | identiteits predicaat: ____ is identiek aan____ | ||
| Logische constanten | |||
| ¬ : | negatie | niet ___ | |
| Ù : | conjunctie | ___ en ___ | |
| Ú : | disjunctie | ___ of ___ | |
| ® : | implicatie | als ____dan____ | |
| « : | materiële equivalentie | ____ dan en slechts dan als ____ | |
| T | verum | 0 plaatsig conjunct altijd = 1 | |
| ^ | falsum | 0 plaatsige disjunctie altijd = 0 | |
| Variabelen | x, y en z worden gebruikt als variabelen met name om het verband tusen de quantoren en de functies te leggen. | ||
| Quantoren | |||
| $ | er is tenminste een individu waarvoor geldt ___ | ||
| " | voor ieder individu geldt ___ | ||
| Domein | verzameling van individuen in een bepaalde context | bv.:mensen, getallen | |
| Model | Een model M=‹D,I›
voor een taal L bestaat uit: - een niet lege verzameling D (domein) - een interpretatie functie I gedefinieerd op de elementen van L waarbij: * |
||
| Termen | |||
Met behulp van de bovenstaande logische symbolen kunnen we uitdrukkingen van de gewone taal weergeven.
B.v. het eerste postulaat van Euclides: 'Door twee punten kun je een rechte lijn
trekken:
Vocabulair definitie:
P = __ is een punt in de ruimte
L = __ is een lijn in de ruimte
T = __ is te trekken door __,__
"x "y ((Px
ÙPy) ®
$z (Lz Tzxy)
$ en " en i ;
¬ ; Ù ; Ú
^ ;®
;« ;
Semantiek
De semantiek houdt zich bezig met het bepalen van waarheidswaarden van proposities vanuit de waarheidswaarden van de daarin gebruikte singuliere termen en met behulp van de waarheidsrelaties die volgen uit het gebruik van de logische constanten.
| De basis logica gaat uit van de volgende punten: |
|
Er zijn twee en niet meer dan twee waarheidswaarden: waar en onwaar, 0 en 1 |
|
Dat wil zeggen iedere zin heeft een waaarheidswaarde | |
|
zie tabellen hieronder |
Op Semantisch niveau gebruiken we: j ; y als symbolen om formules, zinnen, proposities aan te geven. Daarmee kunnen we de logische functionaliteit van de logische constanten in termen van waarheidswaarde definiëren:
| j | ¬j | j | y | jÙy | j | y | jÚy | j | y | j®y | j | y | j«y | ||||
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Noot: Bovenstaande 5 logische constanten maken het gebruik
wat makkelijker. In principe zou een setje van 2 basis constanten voldoende zijn
te kiezen uit: {¬, Ù},
{¬,
Ú},
{¬,®}, {^,®};
Iets soorgelijks geldt voor quantoren, strikt
genomen is een quantor voldoende want
"xφ(x)
is equivalent
met
¬$x ¬φ(x)
en
$xφ(x)
is equivalent met ¬"x ¬φ(x).
Voor beide geldt dat de leesbaarheid van de logische
uitdrukking veel beter wordt door alle gedefinieerde symbolen te gebruiken.
Modale logica
De modale logica voegt twee functies toe die de logica weer dichter bij de dagelijkse en/of de wetenschappelijke taal brengen:
| functie | symbool | voorbeeld |
| het is noodzakelijk dat:..... | □ | |
| het is mogelijk dat:.... | ◊ |
Elk van beide functies alleen ook voldoende zou zijn want:
□φ
=
¬◊¬φ
en ◊φ
=
¬□¬φ,
Maar daarmee zou de leesbaarheid beperkt worden.
De formele taalfilosofie benadert de vraagstukken van de taalfilosofie vanuit de logica en is gericht op de formele structuur en de aard van de betekenis om zo dicht mogelijk bij natuurlijke taal te komen. Dit blijft dan altijd los staan van natuurlijk taalgebruik [zie ]Het is met name Frege geweest die de taalfilosofie als zelfstandige discipline vorm heeft gegeven met zijn benadering vanuit de logica.
Zinnen geven een uiting weer: In het algemeen kunnen verschillende zinnen dezelfde uiting weergeven:
De inhoud, - dat wat uitgedrukt wordt - van een zin is wat historisch een propositie heet [p36]. Context afhankelijke elementen verkrijgen op basis van hun betekenis een inhoud via de context van de uiting.
Conceptualisten zien proposities als mentale voorstellingen (Lock)
Dit is een te eenvoudige voorstelling. Het probleem is dat de mentale
voorstellingen individu afhankelijk zouden zijn terwijl we zelfs bij uitingen
in verschillende talen hetzelfde kunnen begrijpen.
Platonisten zien proposities als een abstract object onafhankelijk van een
kennend subject (Frege)
Nominalisten weigeren het bestaan van betekenis dragende entiteiten te
accepteren (Quine).
Of proposities, zinnen of uitspraken nu de drager zijn van waarheids waarde wordt dan verschillend beantwoord door bovengenoemde stromingen. [p38]
In het vervolg wordt gekozen voor zinnen, waarbij sommige elementen zoals: 'ik, hier, gisteren context afhankelijk zijn.
Extentionele semantiek
Een extensionele semantiek gaat uit van een directe relatie tussen
taal-betekenis-werkelijkheid (extentie indiceert de verwijzing naar de
werkelijkheid). In de meest eenvoudige vorm -het referentialisme- wordt de betekenis van een uitdrukking gelijkgesteld
met haar verwijzing
naar een situatie in de werkelijkheid. Echter er ontstaat dan een ambivalentieprobleem bij gebruik van woorden die naar hetzelfde verwijzen,
bijvoorbeeld 'de morgenster' en 'de avondster' verwijzen beide naar de planeet
Venus,
Toch willen we de woorden niet door elkaar vervangen want met het gebruik
beschrijven we meer dan alleen de verwijzing naar Venus. Problematischer zijn
de volgende voorbeelden
|
Deze problemen worden oplosbaar met een:
Intensionele semantiek
Frege voert het begrip 'Sinn' in als oplossing voor het
ambivalentieprobleem van de verwijzing. De Sinn is wat we intuïtief de betekenis zouden noemen. De Sinn
vertegenwoordigt een bepaalde Cognitieve betekenis. De 'Sinn' is dat wat
eenduidig de 'Bedeutung' bepaald. De Bedeutung is dan datgene waarnaar een uitdrukking verwijst (in bovenstaande voorbeeld
Venus).
De Sinn is dat wat we begrijpen maar niet in een als mentale aciviteit maar als
"iets" intersubjectiefs (bijna platonisch). Vanuit dat begrijpen zijn
we in staat het opject te bepalen.
Een uitdrukking kan een Sinn hebben maar geen Bedeutung bv: "De koning van
Frankrijk is kaal".In 'Sinterklaas bestaat niet" heeft Sinterklaas wel
een Sinn maar geen Beteutung.
In zijn uitwerking van deze basiselementen in de richting van taalgebruik
introduceerde Frege:
Het Intensionalisme [Stokhof 2000 p77ev] werkt de concepten van Frege uit in relatie tot het
gebruik van modale
quantoren 'mogelijk' en 'noodzakelijk'. Het begrip intentie komt in
grote lijnen overeen met de Sinn van Frege echter het betreft alleen dat wat de extentie
(verwijzing) bepaalt zonder de aspecten van Kracht en Kleuring die
bij Frege in de Sinn de "Art des Gegebenseins' bepalen. Hierbij gaat men ervan uit dat: een
intentie een functie is van mogelijke werelden naar extenties ('functie'
moet hier gelezen worden als een wiskundige/logische bewerking). De basisbetekenis wordt dan eenvoudig bepaald door tabellen.
Dynamische semantiek
De hedendaagse dynamische semantiek gaat nog een stap verder en constateerd dat de betekenis van een zin niet alleen afhankelijk is van de context maar zelf bijdraagt aan de betekenis van de context[Stokman 2000 p262ev]. Daarbij komt de nadruk te liggen op de informatie inhoud en overdracht ipv op de betekenis in de zin van waarheidswaarde.
Eigennamen en soortnamen vormen een specifiek probleem in hun relatie tot de werkelijkheid. Er zijn verschillende benaderingen mogelijk:
| Klassieke opvatting: Frege, Russerl |
De beschrijving karakteriseert de betekenis in ieder mogelijke wereld | Problemen zijn hierbij dat 1.de beschrijving fouten kan bevatten waardoor de verwijzing niet meer zou bestaan. 2. De beschrijving onvolledig kan zijn. zoals: goud=metaal, geel,glanzend, kostbaar. Dit sluit niet uit dat er een legering bestaat die hieraan voldoet. |
| Vaste verwijzing:
J.S.Mill, Kripke
|
verwijst in alle situaties (alle mogelijke werelden naar hetzelfde individu) | Voorbeelden van vaste verwijzingen zijn naast eigennamen ook verwijzingen als: het kwadraat van 4 |
| Directe verwijzing (eigennaam) verwijst zonder descriptieve inhoud direct naar individu | Kripke stelt dat eigennamen in feite worden vastgelegd in de praktijk van een naamgevingsproces. | |
|
Putnam |
Soortnamen komen in een sociaal proces tot stand veelal aan de hand van een prototype instantie | Dit proces kan in de loop van de tijd geprecisieerd worden bv door toename van kennis. zoals bij het bekend worden van chemische samenstelling (water: H2O) |
Frege gaf nog (in 1918) een redenering waarbij hij stelde dat waarheid uitgelegd als correspondentie niet mogelijk was (Stokhof 2000 p121) nl: Stel dat een zin S waar is desda (=dan en slechts dan als) S correspondeert met W (een feit of een situatie). Om te weten of S waar is moeten we dus weten of de zin ’S correspondeert met W’ waar is. Dwz volgens hetzelfde patroon: ’S correspondeert met W’ is waar desda als ’S correspondeert met W’ correspondeert met iets anders zeg W’. etc...ect. Deze benadering leidt tot eindeloze regressie. Wat Frege hiermee liet zien is dat waarheid niet gedefinieerd kan worden in termen van correspondentie- of afbeeldingsrelaties.
Tarski definieerde de regels die dit soort oneindige regressie moeten
voorkomen.
Dit betreft een semantische axiomatische theorie geen kennistheorie. Het gaat er om hoe waarheidscondities in complexe taaluitingen
functioneren t.o.v. de waarheidscondities in enkelvoudige taaluitingen.
Voor een formele uitleg van waarheid zijn twee adequaatheidscriteria vereist:
| 1. De materiële adequaatheid van een waarheidsdefinitie is
de voorwaarde waaraan de waarheidsdefinitie moet voldoen: |
geformuleerd als Tarki’s ‘conventie T’ :
Een waarheidsdefinitie is materieel adequaat als elke equivalentie van de
vorm: (T) X is waar desda p met X de naam van een zin en p de zin zelf, of een vertaling ervan. afleidbaar is in de theorie. |
Opm.: Consequentie hiervan is dat elk tweetal definities van waarheid bv Waar1 en Waar2 dat aan het materiele criterium voldoet extentioneel (in zijn verwijzing) gelijk is, hoewel ze intensioneel verschillen.
| 2. Het formele correctheidscriterium |
2.1. | De taal L waarvoor de waarheidsdefinitie wordt opgesteld moet een formeel specificeerbare structuur hebben |
| 2.2. | De taal mag niet semantisch gesloten zijn.
Dwz 1. de taal mag geen zelfreferenties toelaten; 2. de taal mag de semantische predikaten zoals 'waar' en 'onwaar' niet bevatten. Het gebruik van deze predikaten dient dan in een metataal plaats te vinden. |
Opm.: Met name 2.2 moet het ontstaan van een bepaald type paradoxen voorkomen (zie sectie paradoxen).
Ook Davidson neemt de
relatie tussen taal en de werkelijkheid primair (extentionele benadering). Hij
constateert dat de betekenis van een woord mede afhankelijk is van de syntax
van de zin [[Stokman 2000 p117]. Daarmee komen de kracht en de kleuring die
door Frege genoemd zijn weer terug.
Hij laat zien dat een
waarheidstheorie voor de taal L, op basis van Tarski's criteria, tevens een
betekenis theorie voor L is [Stokman 2000 p130,131]. Daarop kan gesteld worden
dat de betekenis van zinnen gegeven wordt door de waarheidscondities van een
zin (in de lijn van Tarski’s waarheids theorie).